Question

在平面直角坐標系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a為非零常數，動點P滿足PA=PB，記點P的軌跡曲線為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）曲線C上不同兩點Q （x₁，y₁），R （x₂，y₂）滿足=λ，點S為R 關于x軸的對稱點．
①試用λ表示x₁，x₂，并求λ的取值范圍；
②當λ變化時，x軸上是否存在定點T，使S，T，Q三點共線，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用PA=PB，化簡即得；
（2）①由=λ，可得，又Q，R在曲線C上，所以有，利用，由此可確定λ的取值范圍．
②先猜想存在符合題意的點T（a，0），再證明．要證S，T，Q三點共線，只要證明．
解答：解：（1）設點P坐標為（x，y），由PA=PB，得，平方整理得x²+y²=2a²，所以曲線C的方程為x²+y²=2a²
（2）①由=λ，得，∵Q，R在曲線C上，∴，
∴，∵，∴
又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范圍是
②存在符合題意的點T（a，0），證明如下：，，
要證S，T，Q三點共線，只要證明，即（x₂-a）y₁-（x₁-a）（-y₂）=0
∵y₂=λy₁，∴只要（x₂-a）y₁+λ（x₁-a）y₁=0
若y₁=0，則y₂=0成立
若y₁≠0，只要x₂+λx₁-a（1+λ）=0成立
所以存在點T（a，0），使S，T，Q三點共線
點評：本題主要考查曲線方程的求解，考查向量與解析幾何的聯系．對于是否存在性問題，可以先猜后證，把結論作為條件．