Question

【題目】已知等腰梯形，.現將沿著折起，使得面面，點F為線段BC上一動點.

（1）證明：；

（2）如果F為BC中點，證明：面；

（3）若二面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）先通過面面得到面，進而可得；

（2）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，得到，進而可得面；

（3）以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系，設求出面的法向量和面的法向量，通過二面角的余弦值為列方程求出，即的值．

（1）證明：在等腰梯形中， 所以，

因為面面，面面，面，

所以面，

所以 ；

（2）取中點，連接，

在三角形中， 而，所以，

即四邊形為平行四邊形，，

因為面面 所以面；

（3）由面，則以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系.

　　　　　　　　　　

則，，

設則，

設面的法向量，

，即，

因為平面,所以是面的法向量，

若二面角的余弦值為，

則，

解得或者，由題意，

即．