Question

給出下列：
①方程2x-log_ax=0的解有1個；
②（x-2）•

x-1

≥0的解集為[2，+∞）．
③“x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件；
④函數y=x³過點A （1，1）的切線是y=3x-2；
⑤△ABC的外接圓的圓心為0，半徑為1，2

OA

+

AB

+

AC

=

0

，且|

OA

|=|

AB

|
則向量

BA

在向量

BC

方向上的投影為

1

2

．其中真命題的序號是

 

（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析：①當 當a＞1時，方程2x-log_ax=0 無解，故①不正確．
②（x-2）•

x-1

≥0的解集為[2，+∞）∪{1}，故②不正確．
③由“x＜1”能推出“x＜2”； 但由“x＜2”，不能推出“x＜1”，故③正確．
④函數y=x³過點A （1，1）的切線的斜率為3，切線方程為 y-1=3（x-1），故④正確．
⑤如圖：由條件可得BC為直徑，三角形AOB為等邊三角形，向量

BA

在向量

BC

方向上的投影為1×cos60°=

1

2

，
故⑤正確．

解答：解：①當 0＜a＜1時，方程2x-log_ax=0的解有1個； 當a＞1時，方程2x-log_ax=0 無解，故①不正確．
②（x-2）•

x-1

≥0的解集為[2，+∞）∪{1}，故②不正確．
③由“x＜1”能推出“x＜2”； 但由“x＜2”，不能推出“x＜1”（如x=1.5），
故“x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件，故③正確．
④函數y=x³過點A （1，1）的切線的斜率為3，切線方程為 y-1=3（x-1），即  y=3x-2，故④正確．
⑤如圖：△ABC的外接圓的圓心為0，半徑為1，

AB

+

AC

=2

AO

，且|

OA

|=|

AB

|，∴O為BC的中點，
BC為直徑，三角形AOB為等邊三角形，則向量

BA

在向量

BC

方向上的投影為1×cos60°=

1

2

，故⑤正確．
故答案為：③④⑤．
⑤

點評：本題考查不等式與不等關系，充分條件、必要條件的定義，利用導數求切線的斜率，一個向量在另一個向量上
的投影的意義，畫出圖形是解題的關鍵，屬于基礎題．