Question

（2007•紅橋區一模）已知袋中裝有大小相同的2個白球和4個紅球．
（Ⅰ）從袋中隨機地將球逐個取出，每次取后不放回，直到取出兩個紅球為止，求取球次數ξ的數學期望；
（Ⅱ）從袋中隨機地取出一個球，放回后再隨機地取出一個球，這樣連續取4次球，求共取得紅球次數η的方差．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定ξ的取值，分別求出對應的概率，然后利用期望公式求取球次數ξ的數學期望．
（Ⅱ）確定連續摸4次球可視作4次獨立重復試驗，然后根據重復試驗的方差公式，可求取得紅球次數η的方差．

解答：解：（Ⅰ）依題意，ξ的可能取值為2，3，4   …（1分）
P(ξ=2)=

A 2 4

A 2 6

=

2

5

； …（3分）
P(ξ=3)=

( C 1 2 C 1 4 A 2 2 ) C 1 3

A 3 6

=

2

5

； …（5分）
P(ξ=4)=

( C 2 2 C 1 4 A 3 3 ) C 1 3

A 4 6

=

1

5

； …（7分）
∴Eξ=2×

2

5

+3×

2

5

+4×

1

5

=

14

5

．
故取球次數ξ的數學期望為

14

5

．…（8分）
（Ⅱ）依題意，連續摸4次球可視作4次獨立重復試驗，且每次摸得紅球的概率均為

2

3

，
則η～B(4，

2

3

)，…（10分）
∴Dη=4×

2

3

×(1-

2

3

)=

8

9

．故共取得紅球次數η的方差為

8

9

．…（12分）

點評：本題主要考查概率的基本應用，要求熟練掌握相應的概率公式以及對應的期望和方程公式，考查學生的基本運算能力．