Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA₁上，AN=．
（1）求BC₁與側面AC C₁ A₁所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C₁；
（3）求二面角C-C₁B-M的平面角的正弦值，若在△A₁B₁C₁中，，，，求x+y的值．

Answer 1

（1）解：在等邊三角形ABC中，M為AC中點，BM⊥AC，
在正三棱柱中，C₁ C⊥面ABC，BM?面ABC，∴C₁ C⊥BM，
又 C₁ C∩AC=C，BM?面ABC，
則BM⊥面 A₁ C₁CA，
∠M C₁ B為 B C₁與面 A₁ C₁CA所成角．
在 Rt△C₁CB中，B C₁=，在等邊三角形ABC中，BM=，
則在 R_t△M C₁ B中，sin∠M C₁ B=．
（2）連接 N C₁，在 Rt△AMN中，由勾股定理可得=，
同理在 Rt△M C₁ C中，，在 R_t△A₁ C₁ N中，，
∴，則NM⊥M C₁，
又BM⊥面 A₁ C₁CA，MN?面 A₁ C₁CA，則BM⊥MN，
又 M C₁∩MB=M，∴MN⊥面 M C₁ B，
又 B C₁?面 M C₁ B，則MN⊥B C₁．
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，此時由于M為AC中點，則DE=EC，=，且ME⊥BC，
在正三棱柱中，C₁ C⊥面ABC，ME?面ABC，則 C₁ C⊥ME，BC∩C₁C=C，BC，C₁ C均?面BC C₁，ME⊥面BC C₁，
作EH⊥B C₁，連接MH，由三垂線定理得 B C₁⊥MH，∴∠MHE為二面角C-C₁B-M的平面角．
在△MB C₁中，由，即，
在 Rt△MEH中，．
設=，
==．
∵．
∴+，
化為=，
∴，解得．
∴====．
∵，
∴．
分析：（1）由等邊三角形ABC的性質可得BM⊥AC，由正三棱柱的性質可得 C₁ C⊥BM，利用線面垂直的判定定理可得BM⊥側面ACC₁A₁，于是∠BC₁M是所求的線面角；
（2）利用勾股定理和逆定理即可證明MN⊥MC₁，再利用（1）可得BM⊥MN，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，可得ME⊥BC．作EH⊥B C₁，連接MH，利用正三棱柱的性質和三垂線定理得 B C₁⊥MH，∴∠MHE為二面角C-C₁B-M的平面角．
利用向量共線定理找出與的關系，再利用向量的運算法則及已知條件即可得出．
點評：熟練掌握等邊三角形的性質、正三棱柱的性質、線面垂直的判定定理、線面角的定義、勾股定理和逆定理、三垂線定理、二面角定義和作法、向量共線定理、向量的運算法則是解題的關鍵．