Question

在數列{a_n}中，a₁=0，且對任意（k∈N*），a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，其公差為d_k．
（Ⅰ）若d_k=2k，證明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數列（k∈N*）；
（Ⅱ）若對任意k∈N*，a_2k-1，a_2k，a2k+1成等比數列，其公比為q_k．
（i）設q₁≠1．證明是等差數列；
（ii）若a₂=2，證明（n≥2）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）觀察已知條件可得a_2k+1-a_2k-1=2d_k=4k，利用累加法a_2k+1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_2k-1+a_2k-3）可求出a_2k+1
（Ⅱ）（i）（法一）由已知由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，及a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數列，可得2a_2k=a_2k-1+a_2k+1，
分別用等差數列數列和等比數列的通項公式表示q_k，構造（d為常數）
（ii）由（i）可求數列，利用等比數列的條件可得=，從遞推關系利用疊乘法求a_2k，a_2k+1再分n為奇偶求和
（法二）（i）利用a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差及成等比的條件可表示d_k=a_2k+1-a_2k=a_2k（q_k-1），從而建立q_k+1q_k之間的遞推關系，進行構造證明（d為常數），從而得到數列{}是等差數列
解答：（Ⅰ）證明：由題設，可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N⁺．
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）=4k+4（k-1）+…+4×1
=2k（k+1）
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），從而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²
于是，所以．
所以d_k=2k時，對任意k∈N⁺，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數列．
（Ⅱ）證法一：（i）證明：由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，及a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比數列，
得2
當q₁≠1時，可知q_k≠1，k∈N⁺
從而，即
所以是等差數列，公差為1．
（ii）證明：a₁=0，a₂=2，可得a₃=4，
從而，=1．
由（Ⅰ）有，得
所以，從而
因此，==2k²，
a_2k+1==2k（k+1），k∈N⁺
以下分兩種情況進行討論：
當n為偶數時，設n=2m（m∈N⁺）
若m=1，則．
若m≥2，則
+
=
所以，從而
（2）當n為奇數時，設n=2m+1（m∈N+）

=
所以，從而
綜合（1）（2）可知，對任意n≥2，n∈N⁺，有

證法二：（i）證明：由題設，可得d_k=a_2k+1-a_2k=q_ka_2k-a_2k=a_2k（q_k-1）
d_k+1=a_2k+2-a_2k+1=q_k²a_2k-q_ka_2k=a_2kq_k（q_k-1）
所以d_k+1=q_kd_k

由q₁≠1可知q_k≠1，k∈N⁺．
可得，
所以是等差數列，公差為1．
（ii）證明：因為a₁=0，a₂=2所以d₁=a₂-a₁=2．
所以a₃=a₂+d₁=4，從而，．
于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數列．
由等差數列的通項公式可得=1+（k-1）=k，
故．
從而．
所以
=
由d₁=2，可得d_k=2k．
于是，由（i）可知a_2k+1=2k（k+1），a_2k=2k²，k∈N⁺
以下同證法一．
點評：本小題主要考查等差數列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．