Question

已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，且它的圖象關于直線x=1對稱．
（1）求f（0）的值．
（2）證明函數f（x）是周期函數．

Answer 1

分析：（1）根據函數是奇函數得到f（-x）=-f（x），所以令x=0得，f（-0）=-f（0），可得f（0）=0．
（2）根據函數關于x=1對稱得到f（1+x）=f（1-x），然后利用函數的周期性的定義證明即可．

解答：解：（1）因為函數f（x）是定義域為R的奇函數，所以f（-x）=-f（x），當x=0時，f（-0）=-f（0），所以f（0）=0．
（2）因為函數關于x=1對稱，所以f（1+x）=f（1-x），
即f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
所以f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=f（x）．
所以函數是以4為周期的周期函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性和對稱性的應用，以及函數周期性的判斷．考查函數性質的綜合應用．