Question

 

    已知函數在處取得極值為2，設函數圖象上任意一點處的切線斜率為k。

    （1）求k的取值范圍；

    （2）若對于任意，存在k，使得，求證：

 

 

 

 

 

    請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）

由及得，                          （2分）

設，得                          （4分）

（Ⅱ），令

的增區間為，故當時，.

即，故                                        （6分）

(法一)由于，故只需要證明時結論成立

由，得，

記，則

，則，

設，，

為減函數，故 為減函數

故當時有，此時，為減函數

當時，為增函數

所以為的唯一的極大值，因此要使，必有

綜上，有成立                                      （12分）

（法二） 由已知：         ①

下面以反證法證明結論：

假設，則，

因為，，所以，

又，故

與①式矛盾

假設，同理可得

與①式矛盾

綜上，有成立                                   （12分）