Question

設(shè)x≥y≥z≥

π

12

，且x+y+z=

π

2

，求乘積cosxsinycosz的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由x，y，z的大小關(guān)系，及x+y+z=

π

2

，得到x的范圍，且用x表示出y+z，將所求式子后兩項(xiàng)利用積化和差公式化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)cosxsin（y-z）≥0，及余弦函數(shù)為減函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出所求式子的最小值；同理將所求式子前兩項(xiàng)結(jié)合，利用積化和差公式化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sin（x-y）≥0，cosz＞0，及余弦函數(shù)為減函數(shù)，即可求出所求式子的最大值．

解答：解：∵x≥y≥z≥

π

12

，且x+y+z=

π

2

，
∴

π

6

≤x≤

π

2

-

π

12

×2=

π

3

，y+z=

π

2

-x，
∵

π

6

≤x≤

π

3

，y≥z，
∴cosxsin（y-z）≥0，
∴cosxsinycosz
=cosx×

1

2

[sin（y+z）+sin（y-z）]
=cosx×

1

2

[cosx+sin（y-z）]
=

1

2

cos²x+

1

2

cosxsin（y-z）≥

1

2

cos²x═

1

2

cos²

π

3

=

1

8

，
當(dāng)y=z=

π

12

，x=

π

3

時(shí)，cosxsinycosz取得最小值，最小值為

1

8

，
∵sin（x-y）≥0，cosz＞0，
∴cosxsinycosz
=cosz×

1

2

[sin（x+y）-sin（x-y）]
=

1

2

cos²z-

1

2

coszsin（x-y）≤

1

2

cos²z=

1+cos2z

4

=

1

4

（1+cos

π

6

）=

2+ 3

8

，
當(dāng)x=y=

5π

12

，z=

π

12

時(shí)取得最大值，最大值為

2+ 3

8

．

點(diǎn)評：此題考查了積化和差公式，不等式的性質(zhì)，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．