Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，，n=1，2，3，…．
（I）求證：a_n+1=a_n+，（n=1，2，3…）
（II）求證：；
（III）令b_n=，（n=1，2，3，…），判斷b_n與b_n+1的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由于a₁=1，a₂=2，，易知對?n≥1，a_n≠0．
當n≥1時，可得，
從而，
依此遞推可得，
從而，（n=1，2，3，）（4分）
（Ⅱ）顯然，由a₁=1，可知：?n≥1，a_n≥1成立，即，
當n≥2時，，
故2＜a_n²-a_n-1²≤3，于是2＜a_n²-a_n-1²≤32＜a_n-1²-a_n-2²≤32＜a_n-2²-a_n-3²≤3
2＜a₃²-a₂²≤32＜a₂²-a₁²≤3
將經上各式相加得2（n-1）＜a_n²-a₁²≤3（n-1），
即得；（亦可用數學歸納法）（9分）
（Ⅲ）
=，故b_n+1＜b_n．（13分）
分析：（Ⅰ）由題設知當n≥1時，，所以，，由此能夠導出．
（Ⅱ）由a₁=1，，知，當n≥2時，，上此入手能導出．
（Ⅲ）=，由此知b_n+1＜b_n．
點評：本題考查數列的性質和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．