Question

已知存在正數a，b，c滿足0＜

c

a

≤2，clnb≥a+clnc，則下列判斷正確的是（　　）

• A．

  b

  a

  ≥

  e

• B．

  b

  a

  ≥e
• C．

  b

  a

  ≥e

  3

  2

• D．

  b

  a

  ≥e2

Answer 1

分析：依題意可求得以

b

c

≥e

a

c

，從而可得

b

a

≥

c

a

e

a

c

，令t=

a

c

（t≥

1

2

），構造函數f（t）=

1

t

e^t，通過導數可求其最小值，從而使問題解決．

解答：解：∵a，b，c為正數，clnb≥a+clnc，
∴clnb-clnc≥a，
∴cln

b

c

≥a，
∴ln

b

c

≥

a

c

，
所以

b

c

≥e

a

c

，
∴

b

a

=

c

a

•

b

c

≥

c

a

e

a

c

令t=

a

c

（t≥

1

2

），則

b

a

≥

1

t

e^t（t≥

1

2

）．
因為存在正數a，b，c滿足0＜

c

a

≤2，clnb≥a+clnc，
∴

b

a

≥

1

t

e^t最小值．
記f（t）=

1

t

e^t，則f′（t）=

tet-et

t2

，
令f′（t）=0，則t=1．
所以函數f（t）在[

1

2

，1]單調遞減，在[1，+∞）單調遞增．
∴f（t）_min=f（1）=e．
因此，

b

a

≥e．
故選B．

點評：本題考查不等關系與不等式，考查構造函數與導數的應用，考查轉化思想與分析能力，屬于難題．