Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=2x+x²，若存在正數a，b，使得當x∈[a，b]時，f（x）的值域為[

1

b

，

1

a

]，則a+b=?（　　）

• A．1
• B．

  1+ 5

  2

• C．1+

  5

  2

• D．

  3+ 5

  2

Answer 1

分析：根據題意，先由奇函數的性質，分析可得x＞0時，f（x）=2x-x²，對于正實數a、b，分三種情況討論：①、當a＜1＜b時，②、當a＜b＜1時，③、當1≤a＜b時，結合二次函數的性質，分析可得a、b的值，將其相加可得答案．

解答：解：設x＞0，有-x＜0，則f（-x）=-2x+x²，
又由y=f（x）是定義在R上的奇函數，則f（-x）=-f（x），
則x＞0時，f（x）=2x-x²，
對于a、b分三種情況討論：
①、當a＜1＜b時，f（x）=2x-x²的最大值為1；得

1

a

=1，即a=1，不合題意，舍去，
②、當a＜b＜1時，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上單調增，而

1

a

＞1，不合題意，舍去，
③、當1≤a＜b時，f（x）在[a，b]上單調減，可得

f(a)= 1 a f(b)= 1 b

，解可得a=1，b=

1+ 5

2

，符合題意，
則a+b=

3+ 5

2

；
故選D．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，涉及二次函數的性質，注意先由奇函數的性質，求出x＞0時，f（x）的解析式．