Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-（a-1）x²+b²x，其中a，b為實常數．
（Ⅰ）求函數f（x）為奇函數的充要條件；
（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函數f（x）在R上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f（x）為奇函數得到f（-x）=-f（x），代入函數解析式，得到恒成立的方程，整理對應相等，即可求得常數a的值；（Ⅱ）函數f（x）在R上是增函數轉化為f'（x）≥0恒成立，∴△≤0解得a，b的一個關系式，根據a∈[0，4]，b∈[0，3]，畫出圖象，即可求得函數f（x）在R上是增函數的概率．

解答：解：（Ⅰ）若f（x）任意x∈R，
有f（x）+f（-x）=0
即

1

3

x3-(a-1)x2+b2x-

1

3

x3-(a-1)x2-b2x=0
∴2（a-1）x²=0∴a=1
當a=1 時，f(x)=

1

3

x3+b2x
f(-x)=-

1

3

x3-b2x=-f(x)，所以f（x）為奇函數．
故f（x）為奇函數的充要條件是a=1．

（Ⅱ）因為f'（x）=x²-2（a-1）x+b²．
若f（x）在R上是增函數，則對任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以△=4（a-1）²-4b²≤0，即|a-1|＜|b|．
設“f（x）在R上是增函數”為事件A，則事件A對應的區域為{（a，b）||a-1|＜|b|}．
又全部試驗結果Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，如圖．
所以P(A)=

S圖象

SΩ

 =

3×4- 1 2 ×1×1- 1 2 ×3×3

3×4

=

7

12

．
故函數f（x）在R上是增函數的概率為

7

12

．

點評：（Ⅰ）考查函數的奇偶性的定義，以及方程的思想方法求參數的值，特別注意函數的定義域；（Ⅱ）考查利用導數研究函數的單調性，轉化為恒成立問題求解，是導數與幾何概型相結合的題目，新穎，體現了數形結合的思想，屬中檔題．