Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦點F₁，傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于點P，若線段PF₁的中點在y軸上，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  5

• C．3
• D．

  3

Answer 1

分析：設F₁（-c，0），P（x₀，y₀），依題意可求得直線PF₁的方程為：y=

3

3

（x+c），△MF₁O為直角三角形，經分析知OM為直角三角形PF₁F₂的中位線，從而可求得|PF₁|與|PF₂|，利用雙曲線定義及離心率公式即可求得答案．

解答：解：設F₁（-c，0），P（x₀，y₀），
依題意，直線PF₁的方程為：y=

3

3

（x+c），設直線PF₁與y軸的交點為M（0，m），
∵M為線段PF₁的中點，
∴

x0-c

2

=0，m=

y0

2

．
∴x₀=c，
∴y₀=

3

3

（x₀+c）=

2 3

3

c，m=

3

3

c．
∵△MF₁O為直角三角形，∠PF₁O=30°，
∴|MF₁|=2|OM|=2m=

2 3

3

c；
又M為線段PF₁的中點，O為F₁F₂的中點，
∴OM為直角三角形PF₁F₂的中位線，
∴|PF₁|=

4 3

3

c，|PF₂|=

2 3

3

c，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=

2 3

3

c，
∴其離心率e=

c

a

=

3

．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，著重考查雙曲線的定義，求得|PF₁|與|PF₂|是關鍵，考查作圖、分析、與運算能力，屬于中檔題．