Question

在直線L：x-y+9=0上任取一點p以橢圓=1的焦點為焦點作橢圓．
（1）p在何處時，所求橢圓的長軸最短；
（2）求長軸最短的橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：先求出橢圓的焦點，根據橢圓的定義可知要使長軸長最短，實際上就是在直線x-y+9=0上找一點M，到F₁，F₂的距離之和最小．設F₁關于x-y+9=0的對稱點是A（t，s），則根據點關于直線對稱點的求法求得A點坐標，進而求得A點在（-5，4）處時，長軸最短，進而求得b，則此時橢圓的方程可得．
解答：解：（1）可知焦點是F₁（-3，0），F₂（3，0）．由橢圓定義可知長軸長2a=|MF₁|+|MF₂|
要使長軸長最短，實際上就是在直線x-y+9=0上找一點M，到F₁，F₂的距離之和最小．
設F₁關于x-y+9=0的對稱點是A（t，s），
則-+9=0，
又，
解得t=-9，s=6，即A（-9，6），，此時M（-5，4）．
（2）由（1）可知最短長軸長是|AF₂|=6
由a=3，c=3得b=6
所以方程為=1
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程問題．涉及了橢圓的定義，點關于直線的對稱問題等，綜合性很強．