Question

在直線L：x-y+9=0上任取一點p以橢圓

x2

12

+

y2

3

=1的焦點為焦點作橢圓．
（1）p在何處時，所求橢圓的長軸最短；
（2）求長軸最短的橢圓方程．

Answer 1

分析：先求出橢圓的焦點，根據橢圓的定義可知要使長軸長最短，實際上就是在直線x-y+9=0上找一點M，到F₁，F₂的距離之和最小．設F₁關于x-y+9=0的對稱點是A（t，s），則根據點關于直線對稱點的求法求得A點坐標，進而求得A點在（-5，4）處時，長軸最短，進而求得b，則此時橢圓的方程可得．

解答：解：（1）可知焦點是F₁（-3，0），F₂（3，0）．由橢圓定義可知長軸長2a=|PF₁|+|PF₂|
要使長軸長最短，實際上就是在直線x-y+9=0上找一點M，到F₁，F₂的距離之和最小．
設F₁關于x-y+9=0的對稱點是A（t，s），
則

t-3

2

-

s

2

+9=0，
又

s

t+3

=-1，
解得t=-9，s=6，即A（-9，6），

x-y+9=0 2y+x-3=0

，此時P（-5，4）．
（2）由（1）可知最短長軸長是|AF₂|=6

5

由a=3

5

，c=3得b=6
所以方程為

x2

45

+

y2

36

=1

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程問題．涉及了橢圓的定義，點關于直線的對稱問題等，綜合性很強．