Question

設函數f(x)的定義域為R，對任意實數x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＞0時f(x)＜0，且f(3)＝－4．

(1)求f(0)，f(1)的值

(2)求證：f(x)為奇函數；

(3)在區間[－9，9]上，求f(x)的最值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)f(0)＝0，f(1)＝－4/3 　　(2)證明：令x＝y＝0，得f(0)＝0 　　令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x) 　　∴f(x)是奇函數 　　(3)解：1°，任取實數x1、x2∈[－9，9]且x1＜x2，這時，x2－x1＞0， 　　f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x1)＝－f(x2－x1) 　　因為x＞0時f(x)＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0 　　∴f(x)在[－9，9]上是減函數 　　故f(x)的最大值為f(－9)，最小值為f(9)． 　　而f(9)＝f(3＋3＋3)＝3f(3)＝－12，f(－9)＝－f(9)＝12． 　　∴f(x)在區間[－9，9]上的最大值為12，最小值為－12．