Question

設函數(shù)f（x）=x|x-a|+b．
（1）當a=1，b=1時，求所有使f（x）=x成立的x的值．
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求證：a²+b²=0；
（3）設常數(shù)b＜2

2

-3，且對任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=1，b=1代入可得，函數(shù)f（x）=x|x-1|+1．解之即可；
（2）由奇函數(shù)的定義可得-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，可得a²+b²=0；
（3）分類討論：由b=2

2

-3＜0，當x=0時，a取任意實數(shù)不等式恒成立．當0＜x≤1時，f（x）＜0恒成立，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立．由函數(shù)的區(qū)間最值可得．

解答：解：（1）當a=1，b=1時，函數(shù)f（x）=x|x-1|+1．由x|x-1|+1=x，可解得x=1或x=-1
（2）若f（x）為奇函數(shù)，則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴a²+b²=0
（3）由b=2

2

-3＜0，當x=0時，a取任意實數(shù)不等式恒成立．
當0＜x≤1時，f（x）＜0恒成立，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立．
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上單調(diào)遞增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b，．
令h（x）=x-

b

x

，則h（x）在（0，

-b

上單調(diào)遞減，[

-b

，+∞）單調(diào)遞增
當b＜-1時，h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上單調(diào)遞減；
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b，∴1+b＜a＜1-b．
而-1＜b＜2

2

-3時，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

．
∴a＜h_min（x）=2

-b

．
∴1+b＜a＜2

-b

．

點評：本題考查函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)的零點，奇偶性和單調(diào)性以及最值，屬基礎題．