Question

如圖：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2AD=2，點E、F分別為C₁D₁、A₁B的中點：
（1）求證：EF∥平面BB₁C₁C
（2）求二面角B₁-A₁B-E的大小．

Answer 1

分析：以D為原坐標，棱DA、DC、DD₁，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
（1）利用向量的運算可得

EF

=

C1B

+

1

2

CC1

，于是EF在平面BB₁C₁C內或EF∥平面BCC₁B₁，而EF?平面BB₁C₁C，可得EF∥平面BB₁C₁C．
（2）分別求出兩個平面的法向量，再求出其夾角即可得出二面角的大小．

解答：解：以D為原坐標，棱DA、DC、DD₁，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（1，0，2），B₁（1，2，2），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），B（1，2，0），C（0，2，0），
（1）∵E，F分別為C₁D₁、A₁B的中點，∴E（0，1，2），F（1，1，1），

EF

=（1，0，-1），

C1B

=（1，0，-2），

CC1

=（0，0，2），
∴

EF

=

C1B

+

1

2

CC1

，
∴EF在平面BB₁C₁C內或EF∥平面BCC₁B₁，
∵EF?平面BB₁C₁C，∴EF∥平面BB₁C₁C．
（2）由（1）得

A1E

=（-1，1，0），

A1B

=（0，2，-2），
設

m

=（x，y，z）是平面A₁BE的一個法向量，
則

A1E • m =0 A1B • m =0

，∴

-x+y=0 2y-2z=0

，∴

y=x y=z

，
取x=1，得平面A₁BE的一個法向量為

m

=（1，1，1），
又DA⊥平面A₁B₁B，∴

DA

=（1，0，0）是平面A₁B₁B的一個法向量，
∵cos?

m

，

DA

＞=

m• DA

| m || DA |

=

1

3

=

3

3

，且二面角B₁-A₁B-E為銳二面角，
∴二面角B₁-A₁B-E的大小為arccos

3

3

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的大小的方法、平面向量基本定理、線面平行的判定定理等是解題的關鍵．