Question

已知數列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果數列B_n：b₁，b₂，…，b_n滿足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，則稱B_n為A_n的“衍生數列”．
（Ⅰ）寫出數列A₄：2，1，4，5的“衍生數列”B₄；
（Ⅱ）若n為偶數，且A_n的“衍生數列”是B_n，證明：b_n=a₁；
（Ⅲ）若n為奇數，且A_n的“衍生數列”是B_n，B_n的“衍生數列”是C_n，…．依次將數列A_n，B_n，C_n，…的首項取出，構成數列Ω：a₁，b₁，c₁，…．證明：Ω是等差數列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據“衍生數列”的定義可得 B₄：5，-2，7，2．
（Ⅱ）證明：因為 b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，由于n為偶數，將上述n個等式中的第2，4，6，…，n這個式子都乘以-1，
相加可得-b_n=-a₁，故 b_n=a₁．
（Ⅲ）因為 b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，由于n為奇數，將上述n個等式中的第2，4，6，…，n-1這個式子都乘以-1，
相加得b_n=a_n-a₁+a_n=2a_n-a₁．設數列B_n的“衍生數列”為C_n，因為 b₁=a_n，c₁=b_n=2a_n-a₁，所以 2b₁=a₁+c₁，即a₁，b₁，c₁成等差數列，同理證其它，
由此可得結論．
解答：解：（Ⅰ）B₄：5，-2，7，2．…（3分）
（Ⅱ）證明：因為 b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，
…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，
由于n為偶數，將上述n個等式中的第2，4，6，…，n這個式子都乘以-1，
相加得b₁-（b₁+b₂）+（b₂+b₃）-…-（b_n-1+b_n）=a_n-（a₁+a₂）+（a₂+a₃）-…-（a_n-1+a_n），
即-b_n=-a₁，b_n=a₁．…（8分）
（Ⅲ）證明：對于數列A_n及其“衍生數列”B_n，因為 b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，
由于n為奇數，將上述n個等式中的第2，4，6，…，n-1這個式子都乘以-1，
相加得b₁-（b₁+b₂）+（b₂+b₃）-…+（b_n-1+b_n）=a_n-（a₁+a₂）+（a₂+a₃）-…+（a_n-1+a_n）即b_n=a_n-a₁+a_n=2a_n-a₁．
設數列B_n的“衍生數列”為C_n，因為 b₁=a_n，c₁=b_n=2a_n-a₁，
所以 2b₁=a₁+c₁，即a₁，b₁，c₁成等差數列．…（12分）
同理可證，b₁，c₁，d₁；c₁，d₁，e₁，…也成等差數列．
從而Ω是等差數列．…（13分）
點評：本題主要考查新定義，等差數列的定義和性質應用，式子的變形是解題的難點，屬于難題．