Question

已知定點A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．動點P滿足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2．
（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；
（2）當k=2時，求|2

AP

+

BP

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設動點的坐標為P（x，y），得到

AP

，

BP

，

PC

的坐標表示，然后根據

AP

•

BP

=k|

PC

|2．可得答案．
（2）當k=2時確定方程，然后求出向量2

AP

+

BP

的模的表達式，最后根據所求方程的參數方程求最值．

解答：解：（1）設動點的坐標為P（x，y），則

AP

=（x，y-1），

BP

=（x，y+1），

PC

=（1-x，-y）
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|²，∴x²+y²-1=k[（x-1）²+y²]即（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-k-1=0．
若k=1，則方程為x=1，表示過點（1，0）是平行于y軸的直線．
若k≠1，則方程化為：(x+

k

1-k

)2+y2=(

1

1-k

)2，
表示以（-

k

1-k

，0）為圓心，以

1

|1-k|

為半徑的圓．
（2）當k=2時，方程化為（x-2）²+y²=1．
∵2

AP

+

BP

=2（x，y-1）+（x，y+1）=（3x，3y-1），
∴|2

AP

+

BP

|=

9x2+9y2-6y+1

．又x²+y²=4x-3，
∴|2

AP

+

BP

|=

36x-6y-26

∵（x-2）²+y²=1，∴令x=2+cosθ，y=sinθ．
則36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46=6

37

cos（θ+φ）+46∈[46-6

37

，46+6

37

]，
∴|2

AP

+

BP

|_max=

46+6 37

=3+

37

，|2

AP

+

BP

|_min=

46-6 37

=

37

-3．

點評：本題主要考查通過向量的有關運算求軌跡方程的問題．對向量的有關題型比如：求模、求夾角、求垂直以及平行等的問題一定要強化練習，是高考的熱點問題．