Question

已知定點A（0，1）、B（0，-1）、C（1，0），動點P滿足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2（k∈R）．
（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的圖形；
（2）當k=2時，求|

AP

+

BP

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，設出P的坐標（x，y），可得向量的坐標，代入

AP

•

BP

=k|

PC

|2|中，可得（k-1）x²+（k-1）y²-2kx+k+1=0，分k=1與k≠1兩種情況討論，可得答案；
（2）表示出向量和的模，利用圓的參數方程設點的坐標，即可求得|

AP

+

BP

|的最大值和最小值．

解答：解：（ 1 ）  設動點P的坐標為（x，y），則

AP

=(x，y-1)，

BP

=(x，y+1)，

PC

=(1-x，-y)，
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|2，∴x²+y²-1=k[（x-1）²+y²]，即（k-1）x²+（k-1）y²-2kx+k+1=0 
若k=1，則方程為x=1，表示過點（1，0）且平行于y軸的直線；
若k≠1，則方程為（x+

k

1-k

）²+y²=（

1

1-k

）²，表示以（

k

1-k

，0）為圓心，以

1

|1-k|

為半徑的圓；
（ 2 ） 當k=2時，方程化為（x-2）²+y²=1，|

AP

+

BP

|=|（2x，2y）|=2

x2+y2

令x=2+cosθ，y=sinθ，則|

AP

+

BP

|=2

5+4cosθ

∴當cosθ=1時，|

AP

+

BP

|的最大值為6，當cosθ=-1時，|

AP

+

BP

|的最小值為2．

點評：本題考查直線與圓的方程的綜合運用，考查向量知識的運用，考查圓的參數方程，屬于中檔題．