Question

【題目】設正項數列的前項和為，且滿足， ， ，各項均為正數的等比數列滿足.

(Ⅰ)求數列和的通項公式；

(Ⅱ)若，數列的前項和為.若對任意， ，均有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（1），可得時， ，兩式相減得，根據數列的各項均為正數，可得

，根據，解得．利用等差數列的通項公式即可得出．進而利用等比數列的通項公式可得 ．
（2）由（1）可知．利用錯位相減法可得．可知若對任意 均有恒成立，等價于 恒成立，即恒成立，利用數列單調性即可得出．

試題解析：

(Ⅰ) ， ，

∴，

∴且各項為正，∴

又，所以，再由得，所以

∴是首項為1，公差為3的等差數列，∴

∴.

(Ⅱ)

∴

恒成立

∴ ，即恒成立.

設，

當時， ； 時，

∴，∴.