Question

【題目】如圖，已知拋物線，過拋物線上點B作切線交y軸于點

（Ⅰ）求拋物線方程和切點的坐標；

（Ⅱ）過點作拋物線的割線，在第一象限內的交點記為，，設為y軸上一點，滿足，為中點，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線方程為，切點（Ⅱ）

【解析】

(I)由直線與拋物線相切，則聯立直線與拋物線方程，令即可求解；(II)聯立直線與拋物線方程，因為兩個交點，所以，即可得出的取值范圍，利用弦長公式可得,由題意可知垂直平分，即可表示出，根據單調性即可求解范圍.

（Ⅰ）聯立拋物線與直線的方程，

得消去得，

由，得，所以拋物線方程為，切點.

（Ⅱ）設，，由題知，

設，與拋物線聯立，得，

則，由及的條件可知，

所以.

易得，所以，

所以.

又因為，

顯然當時單調遞增，所以.