Question

已知圓C的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2．
（1）過原點斜率為k的直線與圓C相交于A、B兩點，若|AB|=2，求k的值；
（2）若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等，求切線l的方程．

Answer 1

分析：由圓C的方程找出圓心C的坐標和半徑r，
（1）由直線過原點且斜率為k，設出直線的方程為y=kx，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線的距離d，由已知|AB|的長，以及圓的半徑r，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心C到直線的距離d，可列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）分兩種情況考慮：①當切線l過原點時，設切線l的方程為y=kx，利用點到直線的距離公式求出圓心C到切線l的距離d，根據直線與圓相切時圓心到直線的距離d=r，列出關于k的方程，求出方程的解即可確定出此時切線l的方程；②當切線l不過原點時，設切線l的方程為x+y-a=0，根據d=r，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出此時切線的方程，綜上，得到所有滿足題意的切線l的方程．

解答：解：由圓的方程（x+1）²+（y-2）²=2，得到圓心C的坐標為（-1，2），半徑r=

2

，
（1）設直線的方程為y=kx，即kx-y=0，
∵r=

2

，|AB|=2，
∴圓心C到直線的距離d=

r2-( |AB| 2 )2

=1，又d=

|-k-2|

k2+1

，
∴

|-k-2|

k2+1

=1，即（k+2）²=k²+1，
解得：k=-

3

4

；
（2）分兩種情況考慮：
①若切線l過原點，設l方程為y=kx，即kx-y=0，
則由C（-1，2）到l的距離d=

|-k-2|

k2+1

=r=

2

，即（k+2）²=2k²+2，
解得：k=2±

6

，
∴此時切線l的方程為y=（2±

6

）x；
②若切線l不過原點，設l的方程為x+y-a=0，
則由C（-1，2）到l的距離d=

|-1+2-a|

2

=r=

2

，即|a-1|=2，
可得a-1=2或a-1=-2，解得：a=3或a=-1，
∴此時切線方程為x+y-3=0或x+y+1=0，
綜上，切線l的方程為y=（2±

6

）x或x+y-3=0或x+y+1=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及直線的截距式方程，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，圓的標準方程，點到直線的距離公式，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題；當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r，熟練掌握此性質是解本題第二問的關鍵．