Question

如圖，已知圓C的方程為：x²+y²+x-6y+m=0，直線l的方程為：x+2y-3=0．
（1）求m的取值范圍；
（2）若圓與直線l交于P、Q兩點，且以PQ為直徑的圓恰過坐標原點，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程化為標準方程：(x+

1

2

)2+(y-3)2=

37

4

-m，若為圓，須有

37

4

-m＞0，解出即可；
（2）設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意得OP、OQ所在直線互相垂直，即k_OP•k_OQ=-1，亦即x₁x₂+y₁y₂=0，根據P、Q在直線l上可變為關于y₁、y₂的表達式，聯立直線方程、圓的方程，消掉x后得關于y的二次方程，將韋達定理代入上述表達式可得m的方程，解出即可；

解答：解：（1）將圓的方程化為標準方程為：(x+

1

2

)2+(y-3)2=

37

4

-m，
依題意得：

37

4

-m＞0，即m＜

37

4

，
故m的取值范圍為（-∞，

37

4

）；
（2）設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意得：OP、OQ所在直線互相垂直，則k_OP•k_OQ=-1，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
又因為x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
所以（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0①，
將直線l的方程：x=3-2y代入圓的方程得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y1y2=

12+m

5

，
代入①式得：5×

12+m

5

-6×4+9=0，解得m=3，
故實數m的值為3．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查圓的方程，屬中檔題，解決本題（2）問的關鍵是正確理解“以PQ為直徑的圓恰過坐標原點”的含義并準確轉化．