Question

在一個圓周上給定十二個紅點；求的最小值，使得存在以紅點為頂點的個三角形，滿足：以紅點為端點的每條弦，都是其中某個三角形的一條邊．

Answer 1

解析:

解：設(shè)紅點集為：，過點的弦有條，而任一個含頂點的三角形，恰含兩條過點的弦，故這條過點的弦，至少要分布于個含頂點的三角形中；

同理知，過點的弦，也各要分布于個含頂點的三角形中，這樣就需要個三角形，而每個三角形有三個頂點，故都被重復(fù)計算了三次，因此至少需要個三角形．

再說明，下界可以被取到．不失一般性，考慮周長為的圓周，其十二等分點為紅點，以紅點為端點的弦共有條．若某弦所對的劣弧長為，就稱該弦的刻度為；于是紅端點的弦只有種刻度，其中，刻度為的弦各條，刻度為的弦共條；如果刻度為（）的弦構(gòu)成三角形的三條邊，則必滿足以下兩條件之一：或者；或者；

于是紅點三角形邊長的刻度組只有如下種可能：

；

下面是刻度組的一種搭配：取型各六個，型四個；這時恰好得到條弦，且其中含刻度為的弦各條，刻度為的弦共條；

今構(gòu)造如下：先作型的三角形各六個，型的三角形

三個，再用三個型的三角形來補(bǔ)充．

型六個：其頂點標(biāo)號為：；

型六個：其頂點標(biāo)號為：；

型六個：其頂點標(biāo)號為：；

型三個：其頂點標(biāo)號為：；

型三個：其頂點標(biāo)號為：．

（每種情況下的其余三角形都可由其中一個三角形繞圓心適當(dāng)旋轉(zhuǎn)而得）．

這樣共得到個三角形，且滿足本題條件，因此，的最小值為．