Question

在一個圓周上給定十二個紅點；求的最小值，使得存在以紅點為頂點的個三角形，滿足：以紅點為端點的每條弦，都是其中某個三角形的一條邊．

Answer 1

解析:

設紅點集為：，過點的弦有條，而任一個含頂點的三角形，恰含兩條過點的弦，故這條過點的弦，至少要分布于個含頂點的三角形中；

同理知，過點的弦，也各要分布于個含頂點的三角形中，這樣就需要個三角形，而每個三角形有三個頂點，故都被重復計算了三次，因此至少需要個三角形．

再說明，下界可以被取到．不失一般性，考慮周長為的圓周，其十二等分點為紅點，以紅點為端點的弦共有條．若某弦所對的劣弧長為，就稱該弦的刻度為；于是紅端點的弦只有種刻度，其中，刻度為的弦各條，刻度為的弦共條；

如果刻度為（）的弦構成三角形的三條邊，則必滿足以下兩條件之一：

或者；或者；

于是紅點三角形邊長的刻度組只有如下種可能：

；

下面是刻度組的一種搭配：取型各六個，型四個；這時恰好得到條弦，且其中含刻度為的弦各條，刻度為的弦共條；

今構造如下：先作型的三角形各六個，型的三角形

三個，再用三個型的三角形來補充．

型六個：其頂點標號為：；

型六個：其頂點標號為：；

型六個：其頂點標號為：；

型三個：其頂點標號為：；

型三個：其頂點標號為：．

（每種情況下的其余三角形都可由其中一個三角形繞圓心適當旋轉而得）．

這樣共得到個三角形，且滿足本題條件，因此，的最小值為．