Question

5、如圖，M是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中點，給出下列命題
①過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交；
②過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直；
③過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都相交；
④過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都平行．
其中真命題是（　　）

A、②③④

B、①③④

C、①②④

D、①②③

Answer 1

分析：點M不在這兩異面直線中的任何一條上，所以，過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交，①正確．
②過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，正確．
過M點有無數個平面與直線AB、B₁C₁都相交，③不正確．
④過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都平行，正確．

解答：解：直線AB與B₁C₁ 是兩條互相垂直的異面直線，點M不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖：
所以，過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交；故①正確．
過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，此垂線就是棱DD₁，故②正確．
過M點有無數個平面與直線AB、B₁C₁都相交，故 ③不正確．
過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都平行，此平面就是過M點與正方體的上下底都平行的平面．
綜上，①②④正確，③不正確，
故選  C．

點評：本題考查立體幾何圖形中直線和平面的相交、平行、垂直的性質，體現了數形結合的數學思想．