Question

如圖，M是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中點，給出下列四個命題：
①過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交
②過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直
③過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都相交
④過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都平行
其中真命題的個數是（　　）

Answer 1

分析：對于①，點M不在這兩異面直線中的任何一條上，所以，過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交，①正確．
②過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，正確．
③過M點有無數個平面與直線AB、B₁C₁都相交，③不正確．
④過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都平行，正確．

解答：解：直線AB與B₁C₁ 是兩條互相垂直的異面直線，點M不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：
取C₁C的中點N，則MN∥AB，且 MN=AB，設BN 與B₁C₁交于H，則點 A、B、M、N、H 共面，
直線HM必與AB直線相交于某點O．
所以，過M點有且只有一條直線HO與直線AB、B₁C₁都相交；故①正確．
過M點有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，此垂線就是棱DD₁，故②正確．
過M點有無數個平面與直線AB、B₁C₁都相交，故 ③不正確．
過M點有且只有一個平面與直線AB、B₁C₁都平行，此平面就是過M點與正方體的上下底都平行的平面，故④正確．
綜上，①②④正確，③不正確，
故選C．

點評：本題主要考查了異面直線的概念與性質，為多選題，必須逐個判斷．