Question

設復數z₁=2sinθ+cosθ（＜θ＜）在復平面上對應向量，將按順時針方向旋轉后得到向量，對應的復數為z₂=r（cosφ+isinφ），則tanφ=    ．

Answer 1

【答案】分析：先把復數z₁ 化為三角形式，再根據題中的條件求出復數z₂，將求出的復數 z₂和已知的復數 z₂作對照，可得cos∅=cos（ π+β ），sin∅=sin（ π+β），可求tan∅，再把tanβ= 代入化簡．
解答：解：∵復數z₁=2sinθ+icosθ （ 0＜θ＜） 的模為  =，
∴復數z₁= （  +i ）= （cosβ+i sinβ）
其中，cosβ=，sinβ=，β為銳角，∴tanβ=，
∴z₂ =•（cos（β-）+i sin（β-））
=•（cos（2π+β-）+i sin（2π+β-））=•（cos（ π+β ）+isin（ π+β）），

又已知復數 z₂=r（cos∅+isin∅），∴cos∅=cos（ π+β ），sin∅=sin（ π+β），
∴tan∅===tan（ +β）=tan（ +β）=== 
=，
故答案為：．
點評：本題考查復數的三角形式，同角三角函數的基本關系、誘導公式的應用，以及利用棣莫弗定理進行復數三角形式的運算．