Question

設復數z1=2sinθ+icosθ(＜θ＜

π

2

)在復平面上對應向量

oz1

，將

oz1

按順時針方向旋轉

3

4

π后得到向量

oz2

，

oz2

對應的復數為z₂=r（cos∅+isin∅），則tg∅（　　）

• A、+12tgθ-1
• B、

  2tgθ-1

  2tgθ+1

• C、

  1

  2tgθ+1

• D、

  1

  2tgθ-1

Answer 1

分析：先把復數z₁ 化為三角形式，再根據題中的條件求出復數z₂，將求出的復數 z₂和已知的復數 z₂作對照，可得cos∅=cos（

5

4

π+β ），sin∅=sin（

5

4

π+β），可求tan∅，再把tanβ=

cosθ

2sinθ

 代入化簡．

解答：解：∵復數z₁=2sinθ+icosθ （ 0＜θ＜

π

2

） 的模為 

(2 sinθ)2+cos2θ

=

1+3sin2θ

，
∴復數z₁=

1+3sin2θ

（ 

2sinθ

1+3sin2θ

+i

cosθ

1+ 3sin2θ

）=

1+3sin2θ

（cosβ+i sinβ）
其中，cosβ=

2sinθ

1+3sin2θ

，sinβ=

cosθ

1+ 3sin2θ

，β為銳角，∴tanβ=

cosθ

2sinθ

，
∴z₂ =

1+3sin2θ

•（cos（β-

3π

4

）+i sin（β-

3π

4

））
=

1+3sin2θ

•（cos（2π+β-

3π

4

）+i sin（2π+β-

3π

4

））=

1+3sin2θ

•（cos（

5

4

π+β ）+isin（

5

4

π+β）），

又已知復數 z₂=r（cos∅+isin∅），∴cos∅=cos（

5

4

π+β ），sin∅=sin（

5

4

π+β），
∴tan∅=

sin∅

cos∅

=

sin( 5π 4 +β)

cos( 5π 4 +β)

=tan（

5π

4

+β）=tan（

π

4

+β）=

1+tanβ

1-tanβ

=

1+ cosθ 2sinθ

1- cosθ 2sinθ

=

2sinθ+cosθ

2sinθ-cosθ

 
=

2tanθ+1

2tanθ-1

，
故選 B．

點評：本題考查復數的三角形式，同角三角函數的基本關系、誘導公式的應用，以及利用棣莫弗定理進行復數三角形式的運算．