Question

設橢圓C₁：的右焦點為F，P為橢圓上的一個動點．
（1）求線段PF的中點M的軌跡C₂的方程；
（2）過點F的直線l與橢圓C₁相交于點A、D，與曲線C₂順次相交于點B、C，當時，求直線l的方程．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）設點，而，根據為中點，可得將其代入橢圓方程整理可得點的軌跡方程。（2）為了省去對直線斜率的討論，可設直線方程為，分別與兩曲線方程聯立消去得關于的一元二次方程，有求根公式可得方程的根，即各點的縱坐標。由已知，可得，即。從而可得的值。
試題解析：（1）設點，而，故點的坐標為，代入橢圓方程得：，即線段PF的中點M的軌跡C₂的方程為：
（2）設直線l的方程為：，解方程組，，?當時，則，解方程組
，，由題設，可得，有，所以=，即（），由此解得：，故符合題設條件的其中一條直線的斜率；?當時，同理可求得另一條直線方程的斜率，故所求直線l的方程是.