Question

2．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦點為F，橢圓與y軸的正半軸交于點B，且|BF|=$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為1的直線l經過點（1，0），與橢圓E相交于不同的兩點M，N，在橢圓E上是否存在點P，使得△PMN的面積為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設出P點坐標及直線l的方程，由△PMN的面積為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$求得點P到直線l的距離為1，再設出過點P與直線l平行的直線l₁：y=x+m．與橢圓方程聯立，由判別式等于0求得m值，再結合兩平行線間的距離公式求出l與l₁之間的距離，與1比較得答案．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a=|BF|=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得c=1，∴b²=a²-c²=1．
則橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）存在．
設點P（x，y），直線l的方程為y=x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得M（0，-1），N（$\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$），
則|MN|=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}+1）^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
則點P到直線l的距離為$\frac{2×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{|MN|}=1$．
設過點P與直線l平行的直線l₁：y=x+m．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=16m²-12（2m²-2）=0，解得m=$±\sqrt{3}$．
當m=$\sqrt{3}$時，l與l₁之間的距離為$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$＞1；
當m=-$\sqrt{3}$時，l與l₁之間的距離為$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$＜1．
則在橢圓E上存在點P，使得△PMN的面積為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，屬中檔題．