Question

某機器人從坐標原點O出發，在直角坐標平面xOy的第一象限，x軸正半軸及y軸正半軸的范圍之內運動，該機器人在x軸正半軸上的運動速度是2m/s，在平面其他地方運動速度是1m/s，該機器人從原點O出發，在1s內能到達的點的集合形成的圖形記為G，將G的邊界位于第一象限的部分記為C．

　　(1)求曲線C的軌跡方程；

　　(2)求圖形G的面積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設1s內機器人到達點M(x，y) 　　設機器人先在x軸上運動了am(0≤a≤2)，到達點P(a，0)，則在線段PM上運動了s，所以|MP|=，得 　　(0≤x≤2，y＞0)，將其看成關于a的二次函數 　　①若0≤≤2，即≤x≤2 　　當時， 　　②若0≤x≤，即(2x-1)≤0 　　當a=0時，ymax= 圖8-6 　　綜上得曲線C的軌跡方程 　　(2)如圖8-6所示，圖形G的面積 　　SG=S△BOT+S扇形AOT=m2