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函數f(x)當x＞0時有意義，且滿足f(2)＝1,f(xy)＝f(x)＋f(y),f(x)在(0,＋∞)上是增函數．

(1)求證：f(1)＝0．

(2)求f(4)．

(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，求x的取值范圍．

答案：
解析：

(1)由f(xy)＝f(x)＋f(y),令x＝2,y＝1，得f(2)＝f(2)＋f(1),∴f(1)＝0．

(2)令x＝y＝2,∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2．

(3)f(x)＋f(x－3)＝f(x(x－3)),且f(4)＝2,

∴f(x)＋f(x－3)≤2＝f(4)可化為f(x(x－3))≤f(4)．

依題有解得


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+（k-2）x+2k-1
（1）若f（1）=16，函數g（x）是R上的奇函數，當x＞0時，g（x）=f（x），
（i）求實數k與g（0）的值；
（ii）當x＜0時，求g（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0的兩根中，一根屬于區間（0，1），另一根屬于區間（1，2），求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足：對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0時，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并證明：當x＜0時，1＜f（x）＜2．
（2）判斷f（x）的單調性并加以證明．
（3）若函數g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上遞減，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f（x）=x+
4
x
，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
請觀察表中值y隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區間（0，2）上遞減；
函數f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區間
（2，0）
（2，0）
上遞增．
當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
證明：函數f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區間（0，2）遞減．
思考：（直接回答結果，不需證明）
（1）函數f（x）=x+
4
x
（x＜0）有沒有最值？如果有，請說明是最大值還是最小值，以及取相應最值時x的值．
（2）函數f（x）=ax+
b
x
，（a＜0，b＜0）在區間
[-
b
a
，0）
[-
b
a
，0）
 和
（0，
b
a
]
（0，
b
a
]
上單調遞增．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•濰坊一模）設函數f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函數y=g（x）圖象恒過定點P，且點P在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當a=8時，設F（x）=f′（x）+g（x），討論F（x）的單調性；
（Ⅲ）在（I）的條件下，設G(x)=
f(x)，x≤1
g(x)，x＞1
，曲線y=G（x）上是否存在兩點P、Q，使△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•吉安縣模擬）已知函數f(x)=(1+
1x
)[1+ln(x+1)]，設g（x）=x2•f'（x）（x＞0）
（1）是否存在唯一實數a∈（m，m+1），使得g（a）=0，若存在，求正整數m的值；若不存在，說明理由．
（2）當x＞0時，f（x）＞n恒成立，求正整數n的最大值．

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同步練習冊答案
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