Question

（2012•吉安縣模擬）已知函數f(x)=(1+

1

x

)[1+ln(x+1)]，設g（x）=x²•f'（x）（x＞0）
（1）是否存在唯一實數a∈（m，m+1），使得g（a）=0，若存在，求正整數m的值；若不存在，說明理由．
（2）當x＞0時，f（x）＞n恒成立，求正整數n的最大值．

Answer 1

分析：（1）先對f（x）求導，得出g（x）=x-1-ln（x+1），再利用零點存在性定理可以研究g（x）的零點情況，做出解答．
（2）當x＞0時，f（x）＞n恒成立，需考察f（x）的最小值情況．由第（1）題知存在唯一的實數a∈（2，3），使得g（a）=0，且當0＜x＜a時，g（x）＜0，f′（x）＜0；當x＞a時，g（x）＞0，f′（x）＞0，因此當x=a時，f（x）取得最小值．利用g（a）=0，得 出 f（a）=a+1，結合a∈（2，3）得出f（a）∈（3，4），從而n≤3，故正整數n的最大值為3．

解答：解：（1）由f′(x)=

x-1-ln(x+1)

x2

，得  g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），
則g′(x)=

x

x+1

＞0，因此g（x）在（0，+∞）內單調遞增．（4分）
因為g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2（1-ln2）＞0，
即g（x）=0存在唯一的根a∈（2，3），于是m=2，（6分）
（2）由f（x）＞n得，n＜f（x）且x∈（0，+∞）恒成立，
由第（1）題知存在唯一的實數a∈（2，3），使得g（a）=0，且當0＜x＜a時，g（x）＜0，f′（x）＜0；
當x＞a時，g（x）＞0，f′（x）＞0，
因此當x=a時，f（x）取得最小值f(a)=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

（9分）
由g（a）=0，得 a-1-ln（a+1）=0，即  1+ln（a+1）=a，于是  f（a）=a+1
又由a∈（2，3），得f（a）∈（3，4），從而n≤3，故正整數n的最大值為3．（12分）

點評：本題考查了函數單調性與導數的應用：求最值，零點、恒成立問題．考察轉化、計算、推理論證能力．