Question

下列命題中正確的是（　　）
①存在實數α，使等式sinα+cosα=

3

2

成立；
②函數f（x）=tanx有無數個零點；
③函數y=sin(

3

2

π+x)是偶函數；
④方程tanx=

1

3

的解集是{x|x=2kπ+arctan

1

3

，k∈Z}；
⑤把函數f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移

π

6

個單位后，得到的函數解析式可以表示成f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
⑥在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象只有1個公共點．

A．②③④

B．③⑤⑥

C．①③⑤

D．②③⑥

Answer 1

分析：將sinα+cosα=

3

2

兩邊平方后整理得sin2a=

5

4

，根據正弦函數的值域可判斷①；根據正切函數的圖象和性質，可判斷②；根據誘導公式及余弦函數的單調性，可判斷③；根據正切函數的周期性，可判斷④；根據函數圖象的平移變換法則，求出平移后函數的解析式，可判斷⑤；利用導數法，分析兩個函數圖象交點的個數，可判斷⑥

解答：解：將sinα+cosα=

3

2

兩邊平方后整理得：2sinacosa=

5

4

，即sin2a=

5

4

，這與正弦函數的值域為[-1，1]相矛盾，故①錯誤；
當x=kπ，k∈Z時，函數f（x）=tanx=0，故②正確；
函數y=sin(

3

2

π+x)=-cosx為偶函數，故③正確；
方程tanx=

1

3

的解集是{x|x=kπ+arctan

1

3

，k∈Z}，故④錯誤；
把函數f（x）=2sin2x的圖象沿x軸方向向左平移

π

6

個單位后，得到的函數應該是f（x）=2sin（2x+

π

3

），故⑤錯誤；．
令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0，所以g（x）為減函數，且g（0）=0，所以g（x）=0僅有一個根0，所以y=sinx與y=x僅有一個交點．故⑥正確
即正確的命題為②③⑥
故選D

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數的圖象和性質，熟練掌握正弦函數，余弦函數及正切函數的圖象和性質是解答的關鍵．