Question

已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

（2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值．

Answer 1

（I）證法一：

∴

即

整理得

∴......................12分

設點M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則

即

展開上式并將①代入得

故線段是圓的直徑。

證法二：

∴

即，

整理得

∴①……3分

若點在以線段為直徑的圓上，則

去分母得

點滿足上方程，展開并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

證法三：

∴

即，

整理得

∴

以為直徑的圓的方程是

展開，并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

（Ⅱ）解法一：設圓的圓心為，則

，∴

又

∴

∴

∴

∴

所以圓心的軌跡方程為：

設圓心到直線的距離為，則

當時，有最小值，由題設得

∴……14分

解法二：設圓的圓心為，則



∴

又

∴

∵ ∴…………9分

所以圓心得軌跡方程為…………11分

設直線與的距離為,則

因為與無公共點.

所以當與僅有一個公共點時，該點到的距離最小，最小值為

∴

將②代入③，有

…………14分

解法三：設圓的圓心為，則

若圓心到直線的距離為，那么

∴

又

∴

∵ ∴

∴

當時，有最小值時，由題設得

∴