Question

是否存在同時滿足下列條件的拋物線？若存在，求出它的方程；若不存在，請說明理由．
（1）準線是y軸；
（2）頂點在x軸上；
（3）點A（3，0）到此拋物線上動點P的距離最小值是2．

Answer 1

【答案】分析：假設存在這樣的拋物線，依題意可設拋物線方程，設P（x，y），代入拋物線方程，進而可求得|AP|²令f（a）=|AP|²，看當a＞0時判斷當3-2a≥a時，|AP|²=f（3-2a），當3-2a＜a時，|AP|²=f（a），分別求得a，拋物線方程可得．當a＞0時與已知矛盾，綜合可得答案．
解答：解：假設存在這樣的拋物線，頂點為（a，0），則方程為y²=4a（x-a）（a≠0），
設P（x，y），則y²=4a（x-a），
|AP|²=（x-3）²+y²=[x-（3-2a）]²+12a-8a²，
令f（a）=|AP|²，
①a＞0時，有x≥a，
當3-2a≥a即a∈（0，1]時，
|AP|²=f（3-2a），∴a=1或a=；
拋物線方程為y²=4（x-1）或y²=2（x-）．
當3-2a＜a即a＞1時，|AP|²=f（a）．
∴a=5或a=1（舍），
拋物線方程為y²=20（x-5）．
②當a＜0時，顯然與已知矛盾，
∴所求拋物線方程為y²=4（x-1）或y²=2（x-）或y²=20（x-5）．
點評：本題主要考查了拋物線的定義．涉及到了函數的最值問題．做題時要注意對a＞0和a＜0時分別討論．