Question

（理科）一條直角走廊寬 1.5米，如圖所示，現有一轉動靈活的手推車，其平板面為矩形ABCD，寬AD為1米，延長AB交直角走廊于A₁、B₁，設∠CDE₁=θ，
（1）證明：CD=

3(sinθ+cosθ)-2

2sinθcosθ

．
（2）要想順利推過直角走廊，平板車的長度不能超過多少米？

Answer 1

分析：（1）由已知中直角走廊寬為1.5m，轉動靈活的平板手推車，寬為1m，我們設AB所在直線與走廊外輪廓線交于點A₁、B₁，
∠CDE₁=θ，由此我們可以構造出車長（CD）與θ的函數關系式，
（2）利用導數法，判斷出函數的單調性，及最值，即可得到答案．

解答：證明：（1）設AB所在直線與走廊外輪廓線交于點A₁、B₁，∠CDE₁=θ，，則∠B₁A₁E=θ．
∵CD=AB=A₁B₁-AA₁-BB₁，A₁B₁=A₁E+EB₁，
而 A′B′=

1.5

sinθ

+

1.5

cosθ

，AA₁=cotθ，BB₁=tanθ，
∴CD=1.5(

1

sinθ

+

1

cosθ

)-cotθ-tanθ=

3(sinθ+cosθ)-2

2sinθcosθ

．
（2）令sinθ+cosθ=t，則 CD=

3t-2

t2-1

．
又∵θ∈(θ，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈(1，

2

]．
令 f(t)=

3t-2

t2-1

，∵f′(t)=-

3t2-4t+3

(t2-1)2

＜0，
∴f（t）在 (1，

2

]上是減函數．
∴當 t=

2

，即 θ=

π

4

時，f（t）有最小值 3

2

-2，
從而CD的最小值是 3

2

-2．
故平板車的長度不能超過（ 3

2

-2）米．

點評：本題的考查的知識點是利用導研究函數的單調性，函數模型的選擇，利用導數求閉區間上的函數的最值，其中根據已知條件構造出車長（CD）與θ的函數關系式，將實際問題轉化為利用導數法求函數最值問題，是解答本題的關鍵．