Question

（理科）一條直角走廊寬 1.5米，如圖所示，現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的手推車，其平板面為矩形ABCD，寬AD為1米，延長(zhǎng)AB交直角走廊于A₁、B₁，設(shè)∠CDE₁=θ，
（1）證明：CD=．
（2）要想順利推過直角走廊，平板車的長(zhǎng)度不能超過多少米？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中直角走廊寬為1.5m，轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板手推車，寬為1m，我們?cè)O(shè)AB所在直線與走廊外輪廓線交于點(diǎn)A₁、B₁，
∠CDE₁=θ，由此我們可以構(gòu)造出車長(zhǎng)（CD）與θ的函數(shù)關(guān)系式，
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，及最值，即可得到答案．
解答：證明：（1）設(shè)AB所在直線與走廊外輪廓線交于點(diǎn)A₁、B₁，∠CDE₁=θ，，則∠B₁A₁E=θ．
∵CD=AB=A₁B₁-AA₁-BB₁，A₁B₁=A₁E+EB₁，
而 ，AA₁=cotθ，BB₁=tanθ，
∴=．
（2）令sinθ+cosθ=t，則 ．
又∵，∴．
令 ，∵，
∴f（t）在 上是減函數(shù)．
∴當(dāng) ，即 時(shí)，f（t）有最小值 ，
從而CD的最小值是 ．
故平板車的長(zhǎng)度不能超過（ ）米．
點(diǎn)評(píng)：本題的考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)模型的選擇，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造出車長(zhǎng)（CD）與θ的函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值問題，是解答本題的關(guān)鍵．