Question

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)（λ≠0），

OB

=(-sinβ，cosβ)，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）若β=α-

π

3

，求向量

OA

與

OB

的夾角；
（Ⅱ）若|

AB

|≥2|

OB

|對任意實數α、β都成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先利用向量模的坐標公式求出向量

OA

、

OB

的長度，從而得到

OA

•

OB

=|λ|cosθ，然后利用向量數理積的坐標公式，得到

OA

•

OB

=λsin（β-α）=-

3

2

λ，最后解關于夾角θ的方程，可得向量

OA

與

OB

的夾角；
（Ⅱ）代入（1）的運算結果，將不等式|

AB

|≥2|

OB

|整理為：λ²-2λsin（β-α）-1≥0對任意實數α、β都成立，再結合正弦函數的有界性，建立關于λ的不等式組，解之可得滿足條件的實數λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵

OA

=(λcosα，λsinα)，

OB

=(-sinβ，cosβ)
∴|

OA

|=

(λcosα) 2+(λsinα) 2

=|λ|，|

OB

|=

(-sinβ) 2+(cosβ) 2

=1
設向量

OA

與

OB

的夾角為θ，得

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|  cosθ=|λ|cosθ
又∵

OA

•

OB

=λcosα(-sinβ)+(λsinα)cosβ
=λsin（α-β）=

3

2

λ
∴|λ|cosθ=

3

2

λ⇒cosθ=±

3

2

∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

6

或

5π

6

（Ⅱ）|

AB

| 2=(

OB

-

OA

) 2= | 

OA

| 2-2

OA

•

OB

+|

OB

| 2
代入（1）的運算結果|

OA

| =|λ|，|

OB

|=1，

OA

•

OB

=λsin（α-β），
得|

AB

| 2=λ 2-2λsin(α-β)+1
不等式|

AB

|≥2|

OB

|化為：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0對任意實數α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴

λ 2-2λ-3≥0 λ 2+2λ-3≥0

⇒λ≤-3或λ≥3
∴實數λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）

點評：本題綜合了平面向量的數量積、和與差的三角函數以及不等式恒成立等知識點，屬于難題．解題時應該注意等價轉化和函數方程思想的運用．