Question

若直線l上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，且|AB|=2；兩個(gè)半徑相等的圓在直線l的一側(cè)，與直線l分別相切與A，B點(diǎn)，C是兩圓的公共點(diǎn)，則圓弧AC，CB以及線段AB圍成的圖形面積S的取值范圍________．

Answer 1

分析：結(jié)合圖形，可見(jiàn)當(dāng)⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)C時(shí)，S最大，圓弧AC，CB與線段AB圍成圖形面積S就是矩形ABO₂O₁的面積減去兩扇形面積，可求出S的最大值，由C無(wú)限靠近直線l，得到S的最小值為0，即可得到S的取值范圍．
解答：如圖，當(dāng)⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)C時(shí)，S最大，

∵兩圓與直線l分別相切與A，B點(diǎn)，
∴四邊形ABO₂O₁為矩形，且兩圓半徑為1，
∴∠AO₁C=∠BO₂C=90°，O₁A=O₂B=1，O₁O₂=2，
則S_max=S_矩形ABO2O1-2S_{扇形面積O1AB}=AO₁•O₁O₂-2•
=，
隨著圓半徑的變化，兩圓位置關(guān)系為相交，
當(dāng)圓的半徑逐漸增大時(shí)，點(diǎn)C可以向直線l靠近，
當(dāng)C到直線l的距離d→0時(shí)，S→0，
∴S∈．
故答案為：（0，2-]
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：切線的性質(zhì)，兩圓相切的性質(zhì)，矩形、扇形的面積求法，以及極限的定義，其中根據(jù)圖形得出當(dāng)⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)C時(shí)S最大是解本題的關(guān)鍵．