Question

若直線l上有兩個點A，B，且|AB|=2；兩個半徑相等的圓在直線l的一側，與直線l分別相切與A，B點，C是兩圓的公共點，則圓弧AC，CB以及線段AB圍成的圖形面積S的取值范圍

(0，2-

π

2

]

．

Answer 1

分析：結合圖形，可見當⊙O₁與⊙O₂外切于點C時，S最大，圓弧AC，CB與線段AB圍成圖形面積S就是矩形ABO₂O₁的面積減去兩扇形面積，可求出S的最大值，由C無限靠近直線l，得到S的最小值為0，即可得到S的取值范圍．

解答：解：如圖，當⊙O₁與⊙O₂外切于點C時，S最大，

∵兩圓與直線l分別相切與A，B點，
∴四邊形ABO₂O₁為矩形，且兩圓半徑為1，
∴∠AO₁C=∠BO₂C=90°，O₁A=O₂B=1，O₁O₂=2，
則S_max=S_矩形ABO2O1-2S_{扇形面積O1AB}=AO₁•O₁O₂-2•

90•π•12

360

=2×1-2×(

1

4

×π×12)=2-

π

2

，
隨著圓半徑的變化，兩圓位置關系為相交，
當圓的半徑逐漸增大時，點C可以向直線l靠近，
當C到直線l的距離d→0時，S→0，
∴S∈(0，2-

π

2

]．
故答案為：（0，2-

π

2

]

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：切線的性質，兩圓相切的性質，矩形、扇形的面積求法，以及極限的定義，其中根據圖形得出當⊙O₁與⊙O₂外切于點C時S最大是解本題的關鍵．