Question

等差數列{a_n}中a₃=7,a₁+a₂+a₃=12，記為{a_n}的前n項和,令b_n=a_na_n+1,數列的前n項和為T_n.(1)求a_n和S_n； (2)求證：T_n<；(3)是否存在正整數m , n ，且1<m<n ，使得T₁ , T_m , T_n成等比數列？若存在，求出m ,n的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  S_n=    (Ⅱ) 略  （Ⅲ）m=2,n=16

解析:

解（1）設數列的公差為，由

,.

解得，=3  …2分∴;  ……3分 S_n=   4分

(2)          

∴        ……………………… 6分

 ∴                   =   … 8分   …… 9分

(3)由(2)知，    ∴，

 ∵成等比數列. ∴      即…… 11分

當m=1時，7，=1，不合題意；

當m=2時，，=16，符合題意；

當m=3時，，無正整數解；

當m=4時，，無正整數解；

當m=5時，，無正整數解；

當m=6時，，無正整數解；…… 14分(少討論一個扣0.5分)

當m≥7時， ,

則，而，

所以，此時不存在正整數m,n,且7<m<n,使得成等比數列.……15分

綜上，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列. … 16分