已知直三棱柱
中，AB⊥AC，AB＝AC＝
，D，E，F(xiàn)分別為
的中點(diǎn)。
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：
⊥平面AEF。
尖子生新課堂課時(shí)作業(yè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試重慶卷數(shù)學(xué)文科 題型：044
已知直三棱柱
中，
，
，
為
的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求異面直線CC1和AB的距離；
(Ⅱ)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省高二“零診”考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
（12分）已知直三棱柱
中，
，點(diǎn)M是
的中點(diǎn)，Q是AB的中點(diǎn)，
（1）若P是
上的一動(dòng)點(diǎn)，求證：
；
（2）求二面角
大小的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：北京四中11-12學(xué)年高二上學(xué)期期末測(cè)試（數(shù)學(xué)理） 題型：解答題
已知直三棱柱
中，AB⊥AC，
，D，E，F(xiàn)分別為
，BC的中點(diǎn)。
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：
⊥平面AEF；
（3）求二面角
的大小。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山西省晉商四校高二下學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知直三棱柱
中, 
,
，
是
和
的交點(diǎn), 若
.
（1）求
的長(zhǎng)； （2）求點(diǎn)
到平面
的距離；
（3）求二面角
的平面角的正弦值的大小.
【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中，利用ACC
A為正方形, 
AC=3
第二問中，利用面BBCC內(nèi)作CD
BC,
則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=
，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3
…………… 5分
(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC,
則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB,
過E作EHAB于H, 連HC,
則HCAB
CHE為二面角C－AB－C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0,
0, 0), B(4,
0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3,
0), A(0,
0, h), A(0, －3, h), G(2, －
, －
) ……………………… 3分
=(2, －, －), 
=(0,
－3, －h(huán)) ……… 4分
·=0,
h=3
(2)設(shè)平面ABC得法向量
=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=|
|=……… 8分
(3) 設(shè)平面ABC的法向量為
=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C－AB－C的大小
滿足cos=
=
………
11分
二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為
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的中點(diǎn)G，則DG∥AB，EG∥AC，所以平面GDE∥平面ABC，所以DG∥平面ABC。
。
，所以
平面AEF。