Question

已知y=f（x）是定義域為的可導函數，f（1）=f（3）=1，f（x）的導數為f′（x），且時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，則不等式組所表示的平面區域的面積等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：此題關鍵是找出可行域，已知y=f（x）是定義域為的可導函數，f（1）=f（3）=1，f（x）的導數為f′（x），且時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞），說明f（x）在x=2處取得極小值，若f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3，畫出可行域，根據線性規劃問題進行求解；
解答：解：∵y=f（x）是定義域為的可導函數，f（1）=f（3）=1，f（x）的導數為f′（x），且時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
說明f（x）在（，2）為減函數，在（2，+∞）為增函數，在x=2取得極小值，
因為f（1）=f（3）=1，要使f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3①，
結合-2≤x-2y≤②畫出滿足條件①②的可行域可得：

可知直線x-2y+2=0與2x+y=1、2x+y=3垂直，
所表示的平面區域是一個長方形，邊長等于點（0，1）到直線2x+y=3的距離：d=，
另一條邊等于：=
所以面積S=×=1，
故選D；
點評：此題是一道線性規劃問題，利用導數研究函數的單調性，找出可行域，是解決此題的關鍵，此題是一道好題！