Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，若f（c）=0且0＜x＜c時，f（x）＞0．
（1）試比較與c的大小；
（2）證明：-2＜b＜-1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得c、是方程f（x）=0的兩個根，欲比較與c的大小，利用反證法去證明＜c不可能，從而得到＞c；
（2）先由f（c）=0，得b=-1-ac．從而得到b＜-1，再利用（1）的結論，比較f（x）圖象的對稱軸與的大小，從而確定b的取值范圍即可．
解答：解：（1）∵f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴f（x）=0有兩個不同的實數根x₁，x₂．
∵f（c）=0，
∴c是方程f（x）=0的一個根，
不妨設x₁=c，
∵x₁x₂=，∴x₂=（≠c），
假設＜c，又＞0，由0＜x＜c時，f（x）＞0，
得f（）＞0，與已知f（）=0矛盾，∴＞c．
（2）證明：由f（c）=0，得ac+b+1=0，
∴b=-1-ac．
又a＞0，c＞0，∴b＜-1．
f（x）圖象的對稱軸方程為
x=-==＜=，
即-＜．
又a＞0，∴b＞-2，∴-2＜b＜-1．
點評：本題主要考查不等式的證明，有些不等式無法利用用題設的已知條件直接證明，我們可以間接的方法--反證法去證明，
即通過否定原結論---導出矛盾---從而達到肯定原結論的目的．