Question

【題目】如圖，已知F為拋物線y2=4x的焦點，點A，B，C在該拋物線上，其中A，C關于x軸對稱（A在第一象限），且直線BC經過點F．

（1）若△ABC的重心為G（ ），求直線AB的方程；
（2）設S△ABO=S1 ， S△CFO=S2 ， 其中O為坐標原點，求S12+S22的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），

則△ABC的重心坐標為G（ ， ），

由題意可得2x1+x2= ，且y2=4，

由y22=4x2，y12=4x1，

可得x2=4，y2=4，和x1= ，y1=1，

直線AB的斜率k= = ，

即有直線AB的方程為4x﹣5y+4=0；

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），

設直線BC：x=my+1，代入拋物線方程y2=4x，可得

y2﹣4my﹣4=0，可得﹣y1y2=﹣4，即y1y2=4，

再設直線AB：y=kx+n，代入拋物線方程，可得

ky2﹣4y+4n=0，y1y2= =4，即n=k，

則有直線AB：y=k（x+1），即有直線AB恒過定點E（﹣1，0），

則S△ABO= |OE||y2﹣y1|= |y2﹣y1|，

S△CFO= |OF||y1|= |y1|，

即有S12+S22= （y2﹣y1）2+ y12= = （2y12+ ﹣8）

≥ （2 ﹣8）=2 ﹣2．

即有S12+S22的最小值為2 ﹣2，當且僅當y1= ，y2=

【解析】（1）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x1 ， ﹣y1），運用三角形的重心坐標公式和拋物線方程，即可求得A，B的坐標，進而得到直線方程；（2）通過直線BC，AB的方程和拋物線方程，運用韋達定理，可得恒過定點（﹣1，0），即有S△ABO= |OE||y2﹣y1|= |y2﹣y1|，S△CFO= |OF||y1|= |y1|，y1y2=4，再由基本不等式計算即可得到最小值．